题 13｜反演法：Python 精确构图 + HTML 逐步证明

题意：△ABC 内接于圆 Ω，AD 为 ∠A 的角平分线，M 为 AD 中点，X、Y∈Ω 且 ∠AXM=∠AYM=½∠BAC，AH⊥BC。证明 D、H、X、Y 四点共圆。
操作：点击“下一步”，或用键盘 ← →。左侧原图在每一步都保留，右侧逐步显示反演像；SAS、平行线和正弦定理用到的角均直接画在图上；图中所有点由 Python 几何计算生成，不是手工摆放。
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原图（始终保留作参照）
这里始终显示 B、C 和圆 O
圆 O（Ω） A B C D H M X Y
反演后的图
圆 O → 直线 ℓ；B,C → B′,C′

Python 数值校验（只用于确认绘图满足条件，不代替证明）

∠BAD38.1318658472
∠CAD38.1318658472
∠AXM38.1318658472
∠AYM38.1318658472
AM·AD13.5730947113
AX·AX′13.5730947113
AY·AY′13.5730947113
KX′·KY′10.7400999244
KB′·KC′10.7400999244
KM·KH′10.7400999244
Y 到圆 ω 的半径误差8.881784197e-16

本图使用 A=(1.0, 5.0), B=(-6.0, 0.0), C=(3.0, 0.0)。例如四个角均约为 38.131866°； 三个点幂乘积均约为 10.740099924；最终 Y 到目标圆 ω 的半径误差约 8.88e-16。

最后把整条证明压缩成“考试版”

设 α=½∠BAC。以 A 为中心作反演，取反演幂 r²=AM·AD，则 M↔D。 原圆 Ω 经过 A，故反演为直线 ℓ，因而 B′、C′、X′、Y′ 共线。 直线 BC 反演为圆 Γ，且 A、B′、M、H′、C′∈Γ。由 AH⊥BC 可知 AH′ 为 Γ 的直径， 故 MH′⊥AD。令 K=MH′∩ℓ。M 为 AD 中点，因此 KM 是 AD 的垂直平分线，故 KA=KD； 设 ∠KAD=∠ADK=θ。

由 AM·AD=AX·AX′，且 ∠DAX′=∠XAM，得 △ADX′∼△AXM， 于是 ∠ADX′=α；按图中位置得 DX′∥AC。同理 DY′∥AB。 分别应用正弦定理可得 KX′/KC′=sin(θ+α)/sin(θ−α)， KY′/KB′=sin(θ−α)/sin(θ+α)， 故 KX′·KY′=KB′·KC′。 另一方面，由 K 对 Γ 的点幂， KB′·KC′=KM·KH′。 因此 KX′·KY′=KM·KH′，由点幂定理的逆知 M、H′、X′、Y′ 共圆。 反演回去即得 D、H、X、Y 四点共圆。∎